Nickolay.info. Обучение. Лекции по MathCAD. 9. Обработка экспериментальных данных

 

Обработка экспериментальных данных

 

Моделирование псевдослучайных чисел

 

Функция  генерирует одно случайное число, равномерно распределенное в интервале [0, х].

 

Функции MathCAD генерирования случайных векторов.  - число проекций  случайного  вектора

 

Равномерное распределение

 

, если

0, если

 

Нормальное распределение

 

 

 

распределение

 

0, если ;

, если

(число степеней свободы)

 

Пример. Необходимо сгенерировать два случайных вектора:  – проекции имеют нормальное распределение (математическое ожидание равно –20, дисперсия 100);  – проекции имеют распределение (с числом степеней свободы 10). Размерность векторов равна 100.

 

 

 

Функции MathCAD вычисления выборочных значений числовых характеристик. К числовым характеристикам случайной величины относятся: математическое ожидание (или среднее), дисперсия, среднеквадратическое отклонение и т.д. Часто возникает необходимость оценить эти характеристики по выборке значений случайной величины объема . Такие оценки называют выборочными значениями числовых характеристик.

 

 

В таблице приведены имена функций, вычисляющих выборочное значение часто используемых числовых характеристик. Здесь векторы размерности , составленные из значений случайной величины  и .

 

                                                                 

Числовые

характеристики

Функция

MathCAD

Математическое ожидание случайной величины

Дисперсия случайной величины

Среднеквадратическое отклонение случайной величины

Медиана случайной величины

 

Мода случайной величины

Корреляционный момент двух случайных величин

Коэффициент корреляции  двух случайных величин

 

Пример. На приведенном выше рисунке показан  фрагмент документа MathCAD, в котором вычисляются выборочные значения некоторых числовых характеристик.

Задание. Сгенерируйте случайный вектор размерности 200, проекции которого равномерно распределены в интервале . Вычислите его числовые характеристики.

Увеличить размерность до 1000 и снова вычислить его числовые характеристики. Сравнить выборочные числовые характеристики с теоретическими.

 

функции MathCAD вычисления частот значений случайной величины (построение гистограмм). Введём некоторые определения.

Предположим, что дана выборка  случайной величины Х ( – объём выборки). Введём L+1 точку

 

,

при этом:

.

 

Тогда число значений , попавших в интервал   обозначим через   и   назовём частотой.

Очевидно, что

                                         .       

Величину

                                          

назовём относительной частотой, для которой выполняется условие

                                        .                                            

 

В качестве оценки плотности распределения вероятности непрерывной случайной величины Х используют гистограмму относительных частот, т.е. систему прямоугольников, k-й из которых основанием имеет а высота определяется по формуле

 

                                                     

    

и имеет место приближенное тождество

 

                                                                                                         

где  некоторое число из интервала .

 

Возникает вопрос: как сформировать интервалы ? Количество интервалов L рекомендуется вычислять по формуле

 

                         

 

где  – целая часть числа .

 

Значения wk,  вычисляются по частотам . Поэтому для определения по выборке в MathCAD включены две функции:

 

           hist(int,X),        histogram(int,X).

 

Параметры функции hist(int,X):

 int – массив длины (L+1), составленный из значений  Если параметр int задать целым числом, равным числу интервалов L, то при выполнении функции формируется рабочий массив узлов ;

 X – массив длиной N, составленный из значений выборки   .

Результатом работы функции является одномерный массив   

 

Параметры функции histogram(int,X):

 int – массив длины (L+1), составленный из значений  Если int задать целым числом, равным числу интервалов L, то при выполнении функции формируется рабочий массив узлов ;

 Х – массив длиной N, составленный из значений выборки .

Результатом работы функций является матрица размером , первый столбец содержит значения  (середины отрезков  а второй столбец – значения.

Пример. Построить гистограммы относительных частот по выборкам случайных величин  определенных в рассмотренном ранее примере. Объём выборки N = 1000.

 

На рисунке А показано построение гистограммы для случайной величины  а на рисунке Б – для случайной величины  с использованием функции histogram при L = 11. Середины отрезков  «откладываются» по оси абсцисс, а для отображения гистограммы задаётся параметр solidbar (команда Формат контекстного меню, закладка Метки). Точками на рисунках показаны значения соответствующих плотностей распределений, вычисленных при .

 

Рис. А

 

Рис. Б.

 

 

Задание. По двум выборкам равномерно распределенных случайных чисел (объемом 200 и 2000) построить гистограммы.

Сделать вывод о влиянии объема выборки на точность оценивания плотности распределения случайной величины.

 

 

Рейтинг@Mail.ru

 

вверх гостевая; E-mail